Системы, в которых количество наложенных связей больше, числа независимых уравн равновесия,называются стат неопред .По сравнению со стат определимыми системами, в ста неопрд. системах имеются дополнительные лишние связи.Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являют­ся лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действи­тельности эти связи создают дополнитрезервы для конст­рукций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.На рис. 2.5, а изображен кронштейн, сост из 2 стерж­ней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертик усилие Р , а система яв­ляется плоской получается, что усилия в стержнях легко определ. из условий равновесия узла А , т.е.x = 0, y = 0. Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему лин уравнений относительно неизвестных усилий N 1 и N 2 в кото­рой количество уравнений равно количеству неизвестных:N 1  N 2 sin  = 0;N 2 cos   Р = 0.

Если конструкцию крон­штейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б ), то усилия в стержнях N 1 , N 2 и N 3 прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются 3 неиз­вестных усилия в стержнях. Получсис­тема один раз ста неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) урав­нений равновесия, связывающих эти усилия, называется сте­пенью ст неопределрассматриваемой системы.В общем случае под n раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число не­зависимых и значащих уравнений равновесия на n единиц. Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в такой последовательности.1Устанавливае степень ст неопред системы как разность между числом искомых неизв усилий и числом независ уравн равновесия. Учитывается, что простой шарнир, соединяющ 2 стержня системы, уменьшает степень ст неопределим на 1, т к снимает одну связь, препятств повороту одной части системы относительно другой. Простой шарнир позволяет добавить к уравн. равн. всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы.2. Из заданной ст неопр. сист выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки.3. Изображается соответствующая выбранной основной эквивалентная система, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении приложены силы X i , если связи препятствовали линейному перемещению, и пары X k , если они исключали повороты сечений.4. Составляются канонические уравнения метода сил.5. Вычисляются коэффициенты канонических уравнений аналитически

Задачи кручения стержней являются статически неопределимыми, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях стержня, не могут быть определены с помощью одних только уравнений равновесия. Для решения таких задач необходимо также рассматривать деформированное состояние скручиваемого стержня.

В качестве примера рассмотрим закрепленный на концах стержень круглого сечения, нагруженный скручивающим моментом М, приложенным на расстоянии а от левого конца (рис. 8.15, а).

Для определения двух опорных моментов М А и М в имеем лишь одно уравнение равновесия

Для составления уравнения деформаций отбросим мысленно правую опору (рис. 8.15, б). Найдем угол закручивания (p s сечения В образованного таким образом статически определимого стержня и приравняем его к нулю:

Из этого равенства получим

Из уравнения равновесия (8.29) найдем

При известных величинах М А и М в можно определить крутящий момент М и угол закручивания ср в произвольном сечении стержня.

Соответствующие эпюры М к и (р приведены на рис. 8.15, в, г.

Кручение стержней с некруглым поперечным сечением. Задача Сен-Венана

Как показывают эксперименты, при кручении стержней некруглого поперечного сечения гипотезы, принятые в § 8.2, оказываются несправедливыми. Основным отличием является то, что поперечные сечения в таких стержнях при кручении не остаются плоскими, а искривляются (рис. 8.16). Это явление называется депланацией. При этом в зависимости от условий закрепления стержня депланация по длине стержня может быть различна. Так, например, если один торец стержня закреплен (рис. 8.16), то депланация в заделке отсутствует, а на свободном торце она наибольшая. При этом, очевидно, некоторые продольные волокна стержня удлиняются, а другие - укорачиваются. Это возможно лишь за счет появления нормальных напряжений о г, которые на первый взгляд должны отсутствовать, поскольку внутренние усилия (N, М х, М у), являющиеся равнодействующими этих напряжений, при кручении равны нулю.

Кручение стержня, при котором депланация сечения по длине стержня изменяется, называется стесненным кручением.

В этом параграфе рассмотрим такое кручение, при котором депланация по длине стержня постоянна и ее можно характеризовать величиной перемещения w = w (х, у) в осевом направлении. Такое кручение стержня называется свободным кручением. Свободное кручение имеет место, например, когда стержень постоянного по всей длине сечения нагружен по торцам двумя скручивающими моментами (рис. 8.17).

Решение задачи свободного кручения стержней некруглого поперечного сечения получено Сен-Венаном. В основу решения положены следующие допущения.

1. Перемещения ниув плоскости Оху описываются теми же соотношениями, что и при кручении стержней круглого сечения (формулы (8.22)):

2. Величина депланации пропорциональна относительному углу закручивания ф", то есть

Здесь следует отметить, что если в рассматриваемой задаче (см. рис. 8.17) считать, что сечение z = 0 не поворачивается, то углы закручивания ф изменяются по длине стержня по линейному закону (рис. 8.11) и

Из соотношений Коши (5.8) с учетом (8.30) и (8.31) найдем деформации:

С помощью закона Гука (6.12) получим

а остальные напряжения равны нулю.

Из этих соотношений видно, что в стержне возникает напряженное состояние чистого сдвига. Подставив выражения для t xz и x yz в формулу (8.8), вычислим величину крутящего момента:

Входящий в это равенство интеграл

назовем моментом инерции сечения при кручении. В случае круглого сечения, когда депланация отсутствует (|/ = 0), эта величина совпадает с полярным моментом инерции

Подставляя (8.35) в (8.34), получим

Эта формула совпадает по форме с (8.8). Отличными в этих формулах являются только геометрические характеристики / и J.

Произведение GJ K называется жесткостью стержня при свободном кручении.

Таким образом, для решения задачи о свободном кручении стержней некруглого поперечного сечения необходимо найти функцию ц/(х, у). Тогда из (8.36) с учетом (8.35) можно определить относительный угол закручивания ф", а с помощью (8.33) и (8.32) - вычислить напряжения и деформации.

Подставив выражения для напряжений t xz и % yz из (8.33) в третье уравнение равновесия Навье (4.10) при отсутствии объемных сил, получим

Отсюда следует, что функция f(x, у) должна удовлетворять уравнению Лапласа

Рассмотрим теперь граничные условия:

На боковой поверхности стержня, которая свободна от внешних нагрузок и имеет нормаль v, перпендикулярную к оси Oz, имеем

С учетом этих равенств третье граничное условие (8.39), дает

Преобразуем это условие, рассмотрев бесконечно малый элемент АВС у границы поперечного сечения (рис. 8.18). Направление касательной t примем так, как показано на этом рисунке.

Подставляя эти значения в (8.40), получим

Таким образом, задача о кручении стержня с произвольным поперечным сечением сводится к решению дифференциального уравнения (8.38) с граничным условием (8.42).

Граничное условие (8.42) имеет сложный вид и не очень удобно для решения задач. Поэтому рассмотрим другой подход, приводящий к более простому граничному условию.

Уравнению (8.37) можно удовлетворить, приняв

где Ф = Ф (х, у) называется функцией напряжений.

Из равенств (8.33) и (8.43) получим

Исключим функцию |/. Для этого продифференцируем первое равенство по у, второе - по х и вычтем из первого равенства второе:

Таким образом, функция Ф удовлетворяет уравнению Пуассона

Граничное условие (8.40) с учетом (8.41) и (8.43) принимает вид

Отсюда следует, что на границе

В случае односвязных, то есть сплошных, сечений эту постоянную можно принять равной нулю. Тогда получим, что на границе

Таким образом, задача определения напряжений в скручиваемом стержне некруглого поперечного сечения сводится к отысканию функции Ф, которая удовлетворяет уравнению Пуассона (8.44) и граничному условию (8.46).

Выразим крутящий момент М к через функцию напряжений Ф. Подставив (8.43) в (8.34), получим

Дважды интегрируя это выражение по частям и используя граничное условие (8.46), можно получить следующее равенство:

Рассмотрим расчет статически неопределимой системы на кручение на конкретном примере.

Пример . Определить из расчета на прочность при допускаемое значение скручивающего момента для вала, жестко защемленного обоими концами и нагруженного, как показано на рис. 10.8, а.

Рис. 10.8. Схема статически неопределимого вала

В заделках возникают реактивные моменты m A и m B (рис. 10.8, а). Составим уравнение равновесия относительно продольной оси вала:

Таким образом, задача является один раз статически неопределимой – одно уравнение статики и два неизвестных реактивных момента. Для составления уравнения перемещений отбросим правую заделку, заменив ее действие на вал неизвестным реактивным моментом . Полученная таким образом статически определимая система (рис. 10.8, б) эквивалентна заданной, и, следовательно, угол поворота сечения B равен нулю:

Применяя принцип независимости действия сил, запишем уравнение перемещений для сечения B в виде

При действии только момента m 1 угол поворота сечения В равен углу закручивания участка АС , т. е.

Аналогично при действии только момента m 2:

При действии только момента m B = X имеем:

Для упрощения вычислений выразим

Подставляя значения углов поворота в уравнение совместности деформаций и учитывая последнее равенство, получаем:

Подставляя значение Х в уравнение равновесия, найдем:

После раскрытия статической неопределимости эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания строятся обычным способом. Эта эпюры представлена на рис. 10.8, в, г, д.

Опасными являются сечения участка ВЕ . Следует отметить, что сечения, в которых возникают наибольшие крутящие моменты (участок АС ), в данном случае менее опасны.

Запишем условие прочности:

Расчет цилиндрических винтовых пружин

С малым шагом витков

Во многих механизмах и машинах, например в рессорах вагонов и автомобилей, применяют винтовые пружины. Эти пружины навивают из проволоки круглого поперечного сечения, изготовленной из специальных марок стали. При проектировании таких пружин необходимо уметь вычислять наибольшие напряжения (для проверки на прочность) и определять деформацию пружины (ее удлинение или прогиб). Точный расчет винтовых пружин достаточно сложен, так как материал пружины испытывает одновременно кручение, сдвиг, изгиб и растяжение.

Пружина с малым шагом витков – это такая пружина, у которой угол между плоскостью, перпендикулярной к оси пружины, и плоскостью витка не превышает 14º.

Пусть винтовая пружина растягивается (или сжимается) силами F , имеет средний диаметр D = 2R и изготовлена из проволоки диаметром d (рис. 10.9, а). Для определения внутренних усилий в пружине применим метод сечений.

Рис. 10.9. Схема винтовой пружины с малым шагом витков

Верхняя часть пружины (рис. 10.9, б) будет находиться в равновесии под действием внешней силы F и внутренних усилий в проведенном сечении прутка, которые можно представить суммой силы F и крутящего момента М кр .

Считая, что угол наклона витка , можно пренебречь остальными силовыми факторами (продольной силой и изгибающим моментом). Материал пружины испытывает срез и кручение.

Сила вызывает в поперечном сечении касательные напряжения , которые определяются по формуле

Считаем, что касательные напряжения распределяются по сечению равномерно (рис. 10.9, г).

Максимальные касательные напряжения от кручения равны:

Распределение касательных напряжений от кручения показано на рис. 10.9, в.

Опасной точкой на контуре сечения является точка А , в которой направления касательных напряжений совпадают. Таким образом, максимальные касательные напряжения равны:

Так как и на практике то часто действием пренебрегают.

Условие прочности для пружин малой кривизны (приближенный расчет):

Условие прочности для пружин малой кривизны:

Из формул для определения следует, что увеличение диаметра пружины D уменьшает ее прочность, а увеличение диаметра проволоки d – увеличивает.

При определении деформации пружины будем учитывать только кручение витков.

Изменение длины пружины вдоль оси под действием внешней нагрузки называется осадкой пружины λ

где n – число витков;

G – модуль сдвига.

Зависимость осадки λ от осевой нагрузки F называется характеристикой пружины. Обычные пружины имеют линейную характеристику.

Усилие F , при котором перемещение λ равно единице (1 м), называется жесткостью пружины с , которая определяется по формуле

размерность жесткости кН/м.

Итак, увеличение числа витков n и диаметра пружины D уменьшает жесткость пружины, а увеличение диаметра проволоки d повышает жесткость пружины.

Пример расчета

Задача 1. Для заданной схемы (рис. 10.10, а) определить значение m и построить эпюру крутящих моментов.

Решение.

1. Методом сечений на каждом участке вала определяем значение крутящего момента.

Рис. 10.10. Схема вала для построения эпюры

крутящих моментов

1-й участок . Рассмотрим равновесие левой отсеченной части вала. Составим уравнение равновесия:

На 1-м участке имеет отрицательное значение, так как со стороны внешней нормали к отсеченной части вращается по часовой стрелке.

2-й участок:

3-й участок:

с другой стороны:

2. Эпюра с учетом знаков построена на рис. 10.10, б.

Задача 2. Вал круглого поперечного сечения диаметром d = 40 мм скручивается моментами m 1 = 0,6 кНм, m 2 = 1,2 кНм и m 3 = 0,8 кНм (рис. 10.11, а). Проверить прочность вала и определить абсолютный угол закручивания концевого сечения, если [τ ] = 80 МПа, G = = 8×10 4 МПа.

Рис. 10.11. Схема вала круглого поперечного сечения

Решение.

1. Методом сечений строим эпюру крутящих моментов (рис. 10.11, б).

2. Определим геометрические характеристики поперечного сечения вала:

3. Проверяем прочность вала:

4. Определяем абсолютный угол закручивания концевого сечения:

Задача 3. Построить эпюру углов закручивания для ступенчатого стального вала, нагруженного, как показано на рис. 10.12, а. G = = 8×10 4 МПа.

Решение.

1. Определим геометрические характеристики сечений каждой ступени вала:

Рис. 10.12. Схема ступенчатого вала

2. Построим эпюру крутящих моментов (рис. 10.12, б).

3. Определим углы закручивания в характерных сечениях вала по формуле

Изображена на рис. 10.12, в.

Задача 4. Определить внутренний и наружный диаметры полого стального вала, передающего мощность N = 100 кВт и вращающегося с угловой скоростью ω = 80 рад/с, если [τ ] = 60 МПа; α = d /D = 0,6, [θ ] = 45×10 –4 рад/м, G = 8×10 4 МПа.

Решение.

1. Определим крутящий момент на валу:

2. Из условия прочности определим момент сопротивления сечения вала:

3. Определим наружный диаметр вала из условия жесткости:

4. Принимаем D = 80 мм, d = 48 мм.

Задача 5. Вал диаметром 90 мм передает мощность N = 80 кВт. Определить предельное число оборотов вала, если [τ ] = 60 МПа.

Решение.

1. Определим момент сопротивления поперечного сечения вала:

2. Из условия прочности определим крутящий момент на валу:

3. Определим предельное число оборотов вала:

Задача 6. Какую мощность может передать вал, вращающийся с угловой мощностью ω = 20 рад/с, диаметром d = 100 мм при допускаемом напряжении [τ ] = 60 МПа и допускаемом угле закручивания
[θ ] = 45 × 10 –4 рад/м. Модуль сдвига G = 8 × 10 4 МПа.

Решение .

1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения вала:

2. Передаваемая валом мощность определяется по формуле

3. Из условия прочности имеем:

Из условия жесткости:

Принимаем

Задача 7. d = 6 мм, имеет n = 10 витков. Диаметр пружины D = 66 мм. Пружина растягивается осевыми силами F = 300 Н. Проверить прочность пружины, если [τ ] = 240 МПа. Определить удлинение и жесткость пружины и накапливаемую потенциальную энергию.
G = 8 × 10 4 МПа.

Решение.

1. Определим поправочный коэффициент:

2. Определим касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях прутка пружины:

3. Определим удлинение пружины под действием внешней нагрузки:

4. Определим жесткость пружины:

5. Определим потенциальную энергию деформации:

Задача 8. Стальная цилиндрическая пружина сжимается осевыми силами F (рис. 10.13). Пружина навита из проволоки диаметром d = 5 мм, с шагом t = 10 мм и имеет диаметр D = 30 мм. Определить значение сил F , при которых будет достигнута ее предельная осадка. G = 8 × 10 4 МПа.

Рис. 10.13. Схема пружины, сжатой осевыми силами

Решение.

1. Запишем условие жесткости пружины при сжатии:

2. Определим предельное значение сил F :

10.7. Задачи для самостоятельного решения

Задача 9. Для заданной схемы нагружения вала (рис. 10.14) построить эпюру крутящих моментов.

Рис. 10.14. Схема вала для построения эпюры крутящих моментов

Задача 10. Для заданного ступенчатого вала (рис. 10.15) построить эпюру крутящих моментов.

Рис. 10.15. Схема ступенчатого вала для построения эпюры

крутящих моментов

Задача 11. К валу постоянного сечения диаметром d = 50 мм (рис. 10.16) приложены моменты m 1 = 1 кНм, m 2 = 0,2 кНм, m 3 = 0,4 кНм и m 4 = 0,4 кНм. Проверить прочность вала, если [τ ] = 60 МПа. Определить полный угол закручивания, если G = 8 × 10 4 МПа.

Рис. 10.16. Схема вала постоянного сечения

Задача 12. Цилиндрическая пружина, изготовленная из стальной проволоки диаметром d = 5 мм, растягивается силами F = 400 Н. Диаметр пружины D = 30 мм. Проверить прочность пружины, если [τ ] = 500 МПа. Определить число витков пружины, при котором она удлиняется на 40 мм. G = 8 × 10 4 МПа.

Задача 13. Определить требуемый диаметр проволоки винтовой цилиндрической пружины для осевой нагрузки F = 1,2 кН, если D /d = 6 и [τ ] = 500 МПа.

Задача 14. Для заданной схемы нагружения (рис. 10.17) определить диаметры проволоки для обеих пружин, если D 1 /d 1 = D 2 /d 2 = 8 и [τ ] = = 600 МПа.

Рис. 10.17. Схема бруса, подвешенного на двух пружинах

10.8. Контрольные вопросы

1. Какой вид нагружения называется кручением?

2. Что называется валом? Что такое крутящий момент?

3. Какие деформации возникают при кручении?

4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?

5. Вывести формулу для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого вала.

6. Вывести формулы для определения относительного и полного углов закручивания круглого вала.

7. Что такое эпюра крутящего момента и как она строится?

8. Как распределяется касательное напряжение при кручении? Чему равно напряжение в центре круглого поперечного сечения?

9. Написать формулу для расчета напряжения на поверхности вала при кручении. Как изменится напряжение, если диаметр вала увеличится в два раза?

10. В чем заключается расчет на прочность при кручении?

11. В чем заключается расчет на жесткость при кручении?

12. Почему при одинаковой прочности и жесткости вал кольцевого поперечного сечения легче, чем вал сплошного круглого сечения?

13. Как вычислить потенциальную энергию деформации, накапливаемую валом при кручении?

14. Расчет статически неопределимых валов.

15. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом витков. Что такое осадка и жесткость пружины, как они определяются?

Сложное сопротивление

4.4. Статически неопределимые задачи кручения

Такие задачи обычно возникают, если перемещение вала ограничено в некоторых сечениях, например, (рис. 4.9), когда его концы защемлены. В

одно уравнение равновесия: :

входят два неизвестных момента в опорах, поэтому задача является статически неопределимой. Для ее решения составим дополнительное уравнение перемещений. Рассмотрим перемещения (углы поворота) сечений, являющихся границами участков вала..gif" width="99" height="27 src=">.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image007_54.gif" width="99 height=26" height="26">.

Так как сечение вала защемлено, то , откуда: https://pandia.ru/text/78/579/images/image011_42.gif" align="left" width="258" height="186">

Потенциальная деформация деформации участка вала длиной dz будет:
Так как при кручении τ = (МК / IР) r, то

Сокращая на IР, получим выражение для потенциальной энергии деформации при кручении

4.6 . Кручение стержней некруглого поперечного сечения

https://pandia.ru/text/78/579/images/image018_20.gif" align="left" width="324" height="237 src="> При кручении стержней (валов) не круглого и не - кольцевого поперечных сечений, не выполняются допущения, принятые при кручении круглых и кольцевых валов: плоские поперечные сечения стержня не остаются плоскими при кручении, а депланируют (искривляются); прямые радиусы, проведенные в плоских сечениях, искривляются; рассто-яние между сечениями изменяется (рис. 4Если стержень постоянного сечения по всей длине негде не защемлен и закручивающие моменты, расположены на его концах, то все сечения депланируют одинаково, и нормальные напряжения не возникают. Такое кручение называется свободным. Однако, с достаточной для практических целей точностью, для некруглых стержней можно пользоваться формулами, выведенными для круглого стержня, заменив и https://pandia.ru/text/78/579/images/image021_17.gif" width="23" height="27 src=">- момент инерции при кручении, и -момент сопротивления при кручении.

https://pandia.ru/text/78/579/images/image024_18.gif" width="90" height="49">, ,

Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 4.12)

https://pandia.ru/text/78/579/images/image027_17.gif" width="87" height="29 src=">.

Здесь и - зависят от отношения .

Коэффиценты.	Отношение большей стороны сечения к меньшей .

Дифференциал" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">дифференциальному уравнению, что и задача о равновесии тонкой пленки, натянутой на контур того же очертания, что и контур поперечного сечения стержня и нагруженной равномерно распределенным давлением. Аналогом напряжения является угол, который составляет касательная к поверхности пленки с плоскостью контура, а аналогом крутящего момента - объем, заключенный между плоскостью контура и поверхностью пленки. На рис. 4.13,а показано поведение пленки под давлением, на рис. 4.13,б приведено качественное распределение напряжений при кручении стержня сложного профиля. С помощью специального прибора и тарированной пленки можно получить и количественные результаты. Для этого, чтобы учесть жесткость пленки, такой же эксперимент проводят с круглым отверстием, откуда и получают необходимую жесткость пленки, так как решение в этом случае можно получить точно.

4.7. Свободное кручение тонкостенных стержней

Тонкостенными называют стержни, у которых один размер поперечного сечения - толщина профиля , меньше другого - длины контура поперечного сечения s. Стержни бывают открытого (рис. 4.14) и замкнутого (рис. 4.15) профилей. Используем мембранную аналогию. Характер поведения пленки и, соответственно, касательных напряжений в тонкостенных стержнях открытого и замкнутого профилей принципиально разный (рис. 4.16 и рис. 4Если стержень открытого профиля выпрямить в длинный прямоугольник, то форма пленки не изменится.

Тогда для прямоугольного сечения при , имеем: ,..gif" width="22" height="25"> прямоугольников, то

..gif" width="42" height="26">.

Расчётная схема и эпюры

Решение

Обозначим продольную ось z, точки A и B, номера участков 1, 2, 3. Концы стержня защемлены, поэтому возникают реактивные моменты M A и M B , которые необходимо вычислить. Количество неизвестных опорных реакций равно двум, а уравнение статики для данной системы сил единственное:

M A – M 1 + M 2 – M B = 0. (1)

Поэтому данная система один раз статически неопределима. Кроме уравнения (1) требуется составить еще одно уравнение, содержащее те же неизвестные M A и M B . С этой целью поступим следующим образом. Отбросим правое защемление, но его влияние заменим моментом M B , пока неизвестным по величине и направлению. Таким образом, получим расчётную схему 2), эквивалентную исходной схеме 1). Теперь к стержню приложены три нагрузки: M 1 , M 2 , M B в виде моментов, в том числе и искомый – M B . Поскольку правый конец стержня защемлён, угол поворота этого сечения вокруг продольной оси стержня должен быть равным нулю, т.е. . Такой поворот в точке B является результатом действия трех силовых факторов: M 1 , M 2 , M B .

По принципу независимости действия сил угол поворота сечения B можно сначала подсчитать от каждого момента и результаты затем просуммировать. Поступая так, получим второе уравнение, дополняющее (1):

При составлении этого уравнения учтено, что момент M 1 закручивает лишь первый участок стержня, момент M 2 – участки 1 и 2, а момент M B – все три участка. Сократим левую часть уравнения (2) на и G и получим

Уравнения (1) и (3) образуют систему для определения M A и M B . Для её решения сначала необходимо определить моменты инерции J , J , J .

Первый участок стержня представляет собой полый цилиндр. Для его сечения

Второй участок стержня имеет прямоугольное поперечное сечение. Его момент инерции при кручении

J (5)

Здесь – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение берётся из таблицы.

Формула (5) даёт результат

J . (6)

Сечение стержня второго участка – сплошное круглое. Поэтому

(7)

Значения крутящих моментов и найденные значения моментов инерции сечений подставляем в (3)

Сокращаем во всех слагаемых b 4 , проводим несложные арифметические подсчёты и получаем

После преобразований уравнение принимает вид

14,89 M B = 17,78.

Отсюда имеем

M B = 1,194кНм.

Из уравнения (1) находим реактивный момент в защемлении левого конца:

M A = M 1 – M 2 + M B = 6 – 7 + 1,194 = 0,194кНм.

Теперь можно приступить к построению эпюры крутящих моментов. В произвольном месте каждого участка стержня проведём сечения 1–1, 2–2, 3–3.

Возьмем левую отсечённую часть и покажем крутящий момент в сечении M . Хотя его направление можно выбирать произвольно, лучше избрать положительное направление, т.е. такое, чтобы при взгляде в торец отсечённой части он был виден направленным против хода часовой стрелки.

Весь стержень находится в равновесии. Значит, и любая отсечённая часть должна быть в равновесии. Следовательно, можно записать уравнение равновесия:

Отсюда имеем

Сечение 2–2

Сечение 3–3

кНм.

По итогам вычислений строим эпюру крутящих моментов. Размеры поперечного сечения стержня необходимо находить из условия прочности

(8)

Здесь i– номер участка. Левая часть неравенства есть наибольшее значение касательного напряжения по модулю для всего стержня. Правая часть – допускаемое напряжение для материала по касательным напряжениям. Установим их. Для каждого участка найдем максимальное касательное напряжение по общей формуле

Крутящие моменты уже найдены. Определим моменты сопротивления при кручении:

Ввторой формуле – табулированный коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольника. Для заданного соотношения h/b = 2,0 значение взято из таблицы.

Для каждого участка определяем локальные максимумы касательных напряжений:

(9)

(10)

(11)

Из сравнения результатов видим, что опасными являются сечения второго участка.

Допускаемое касательное напряжение

.